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Geometría y trigonometría
Ejercicios resueltos de Geometría y trigonometría paso a paso, con el error que más se comete en cada uno: Ángulos y triángulos, Teorema de Pitágoras, Semejanza y congruencia, Áreas y perímetros y más. Gratis y en español.
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Ejercicios resueltos de Geometría
Resueltos paso a paso, como te los explicaría el tutor, y con el error que más se comete.
Volúmenes
El tanque cilíndrico de agua de una casa mide 3 m de diámetro y 2 m de altura. ¿Cuántos litros almacena cuando está lleno?
Cómo se resuelve
- 1Se describe la figura: es un cilindro parado, con una base circular y una altura. Su volumen es el área de la base por la altura: V = π × r² × h.
- 2La fórmula pide el radio, pero el dato que dan es el diámetro. El radio es la mitad: r = 3 ÷ 2 = 1,5 m.
- 3Área de la base: π × (1,5)² = 2,25π ≈ 7,069 m².
- 4Volumen: 2,25π × 2 = 4,5π ≈ 14,137 m³. Conviene arrastrar el π sin redondear hasta el final; si se redondea en el paso anterior, el resultado baila en el último decimal.
- 5La pregunta es en litros, no en metros cúbicos, así que falta convertir. Un metro cúbico son 1.000 litros: 14,137 × 1.000 = 14.137 litros.
Respuesta: Almacena unos 14.137 litros (4,5π m³, es decir 14,137 m³).
El error de siempre: Meter el 3 en la fórmula como si fuera el radio. Como el radio va elevado al cuadrado, usar el diámetro no da el doble sino cuatro veces más: 56.549 litros en vez de 14.137. Cada vez que el enunciado diga «diámetro», el primer paso es dividirlo entre 2.
Ley de senos y cosenos
De una finca salen dos caminos: uno de 8 km hasta el pueblo B y otro de 5 km hasta el pueblo C. Al salir de la finca, los dos caminos forman un ángulo de 60°. ¿Qué distancia hay en línea recta entre B y C?
Cómo se resuelve
- 1Se dibuja el triángulo: el vértice A es la finca, y desde él salen AB = 8 km y AC = 5 km con un ángulo de 60° entre ellos. Lo que falta es el lado BC, que es justamente el opuesto a ese ángulo.
- 2Conocer dos lados y el ángulo que está ENTRE ellos es el caso de la ley del coseno: BC² = AB² + AC² − 2 × AB × AC × cos A. La ley de senos no sirve aquí, porque exige conocer un lado junto con el ángulo que se le opone, y de ninguno de los dos lados conocemos su ángulo opuesto.
- 3Se reemplaza: BC² = 8² + 5² − 2(8)(5) × cos 60°, y cos 60° = 0,5.
- 4Se opera por partes: 64 + 25 = 89, y 2(8)(5) × 0,5 = 80 × 0,5 = 40. Entonces BC² = 89 − 40 = 49.
- 5Se saca la raíz: BC = √49 = 7. Se toma la positiva porque es una distancia.
Respuesta: Entre B y C hay 7 km en línea recta.
El error de siempre: Usar Pitágoras y responder √(8² + 5²) = √89 ≈ 9,43 km. Pitágoras solo vale cuando el ángulo entre los dos lados es de 90°, y aquí es de 60°. De hecho el término −2 × AB × AC × cos A es la corrección: si A fuera 90°, cos 90° = 0, ese término desaparecería y la ley del coseno se volvería Pitágoras.
¿Y si tu ejercicio no es ninguno de estos?
No hace falta buscar el ejercicio exacto en internet. Trae el tuyo, o pide los que te falten.
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Lo que cubre
- Ángulos y triángulos
- Teorema de Pitágoras
- Semejanza y congruencia
- Áreas y perímetros
- Volúmenes
- Razones trigonométricas
- Identidades trigonométricas
- Ecuaciones trigonométricas
- Ley de senos y cosenos
- Geometría analítica: rectas y cónicas
Preguntas que le puedes hacer
- TriángulosUn triángulo tiene lados 7, 8 y 9. Halla su área
- IdentidadesDemuestra que (1 − cos²x)/sen x = sen x
- Ecuaciones trig.Resuelve 2 sen²x − sen x − 1 = 0 en [0, 2π)
- CónicasHalla la ecuación de la circunferencia con centro (2, −3) que pasa por (5, 1)
Cómo enseña este tutor
Va al grano y sin sermones: primero para qué sirve el tema en la vida real y después el cómo, con ejemplos de dinero, juegos, deportes o música. Nada de palabras rebuscadas cuando hay una sencilla, y ningún rodeo de seis pasos si el tema se explica en tres.
- · Te muestra el camino completo, no solo el resultado.
- · Si algo no te cuadra, te lo explica otra vez de otra manera.
- · Comprueba las cuentas con matemática simbólica antes de dártelas.
- · Con una foto de tu cuaderno te dice dónde está el error.
- · Te arma quizzes de lo que acabas de ver para saber si de verdad quedó.
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