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Matemáticas discretas
Ejercicios resueltos de Matemáticas discretas paso a paso, con el error que más se comete en cada uno: Lógica proposicional, Conjuntos, Relaciones y funciones, Inducción matemática y más. Gratis y en español.
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Ejercicios resueltos de Discretas
Resueltos paso a paso, como te los explicaría el tutor, y con el error que más se comete.
Inducción matemática
Demuestra por inducción que n³ − n es divisible por 3 para todo entero n ≥ 1.
Cómo se resuelve
- 1Se nombra lo que se quiere probar: P(n) es la afirmación «n³ − n es múltiplo de 3». La inducción consiste en verificar P(1) y después probar que P(k) obliga a P(k + 1).
- 2Paso base, n = 1: 1³ − 1 = 0, y 0 = 3 × 0, así que es múltiplo de 3. P(1) se cumple.
- 3Hipótesis de inducción: suponemos que para cierto k ≥ 1 se cumple P(k), es decir que existe un entero m tal que k³ − k = 3m. Eso es lo único que se puede usar como dado.
- 4Paso inductivo: hay que llegar a que (k + 1)³ − (k + 1) también es múltiplo de 3. Expandimos: (k + 1)³ = k³ + 3k² + 3k + 1, así que (k + 1)³ − (k + 1) = k³ + 3k² + 3k + 1 − k − 1 = k³ + 3k² + 3k − k.
- 5El truco es reagrupar para que aparezca la hipótesis: k³ + 3k² + 3k − k = (k³ − k) + 3k² + 3k.
- 6Reemplazamos la hipótesis k³ − k = 3m: queda 3m + 3k² + 3k = 3·(m + k² + k). Como m, k² y k son enteros, la suma es entera y el total es múltiplo de 3.
- 7Con el base verificado y el paso probado, P(n) vale para todo n ≥ 1.
Respuesta: Queda demostrado: (k + 1)³ − (k + 1) = (k³ − k) + 3(k² + k) = 3(m + k² + k), múltiplo de 3 siempre que k³ − k lo sea. Con P(1) verificado, la propiedad vale para todo n ≥ 1.
El error de siempre: Desarrollar (k + 1)³ − (k + 1), ver que hay varios términos con 3 y declarar listo sin usar nunca la hipótesis. Si la hipótesis no aparece en la cuenta, no hubo inducción: hubo un cálculo suelto. Todo paso inductivo bien hecho tiene un momento donde se reemplaza lo supuesto; aquí es reagrupar hasta que salga el bloque (k³ − k).
Aritmética modular
Calcula 3¹⁰⁰ mod 7.
Cómo se resuelve
- 1Calcular 3¹⁰⁰ completo es imposible a mano, pero en aritmética modular las potencias se repiten en ciclo. La estrategia es encontrar el ciclo y usarlo.
- 2Vamos elevando y reduciendo módulo 7 en cada paso: 3¹ ≡ 3, 3² = 9 ≡ 2, 3³ ≡ 3·2 = 6, 3⁴ ≡ 3·6 = 18 ≡ 4, 3⁵ ≡ 3·4 = 12 ≡ 5, 3⁶ ≡ 3·5 = 15 ≡ 1.
- 3Llegamos a 3⁶ ≡ 1 (mod 7). Ahí se cierra el ciclo: de aquí en adelante todo se repite con período 6, porque multiplicar por 1 no cambia nada.
- 4Entonces solo importa el resto de 100 al dividir entre 6 (el largo del ciclo), no entre 7. Como 100 = 6 × 16 + 4, escribimos 3¹⁰⁰ = (3⁶)¹⁶ · 3⁴.
- 5Reducimos: (3⁶)¹⁶ ≡ 1¹⁶ = 1, así que 3¹⁰⁰ ≡ 1 · 3⁴ ≡ 4 (mod 7).
Respuesta: 3¹⁰⁰ ≡ 4 (mod 7)
El error de siempre: Reducir el exponente módulo 7 en vez de módulo 6: calcular 100 mod 7 = 2 y responder 3² = 9 ≡ 2 (mod 7), o sea 2. El módulo 7 se aplica a la BASE y al resultado; el exponente se reduce con el largo del ciclo, que aquí es 6 (por el pequeño teorema de Fermat, para un primo p el ciclo divide a p − 1 = 6). Son dos números distintos y confundirlos cambia la respuesta.
¿Y si tu ejercicio no es ninguno de estos?
No hace falta buscar el ejercicio exacto en internet. Trae el tuyo, o pide los que te falten.
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Lo que cubre
- Lógica proposicional
- Conjuntos
- Relaciones y funciones
- Inducción matemática
- Combinatoria
- Relaciones de recurrencia
- Teoría de grafos
- Árboles
- Aritmética modular
- Álgebra de Boole
Preguntas que le puedes hacer
- InducciónDemuestra por inducción que 1 + 3 + 5 + … + (2n − 1) = n²
- Combinatoria¿De cuántas formas se pueden sentar 6 personas en una mesa redonda?
- RecurrenciasResuelve la recurrencia a_n = 5a_(n−1) − 6a_(n−2), con a_0 = 1 y a_1 = 4
- ModularCalcula 7^222 mod 10
Cómo enseña este tutor
Es riguroso y completo: justifica cada paso y nombra el teorema, la norma o la buena práctica que está aplicando, para que puedas citarla en tu trabajo o en el parcial.
- · Te muestra el camino completo, no solo el resultado.
- · Si algo no te cuadra, te lo explica otra vez de otra manera.
- · Comprueba las cuentas con matemática simbólica antes de dártelas.
- · Con una foto de tu cuaderno te dice dónde está el error.
- · Te arma quizzes de lo que acabas de ver para saber si de verdad quedó.
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