Ejercicios resueltos de Precálculo

Question 1

Halla el dominio de f(x) = ln(x − 1) / √(5 − x).

Accepted Answer

El dominio es el conjunto de x donde la fórmula está definida. Hay tres exigencias que revisar por separado y después combinar: el logaritmo, la raíz y el denominador. Logaritmo: ln solo admite argumentos estrictamente positivos. Entonces x − 1 > 0, es decir x > 1. El signo es > y no ≥, porque ln 0 no existe. Raíz cuadrada: por sí sola exigiría 5 − x ≥ 0. Pero esa raíz está en el denominador, así que tampoco puede valer 0. La condición se endurece a 5 − x > 0, o sea x < 5. Las dos condiciones deben cumplirse al mismo tiempo, así que se intersecan: x > 1 y x < 5. En notación de intervalos, con los dos extremos abiertos: (1, 5). Respuesta: Dominio de f = (1, 5), es decir todos los x con 1 < x < 5.

Question 2

Determina las asíntotas verticales de f(x) = (x² + 2x − 3) / (x − 1).

Accepted Answer

Lo primero no es igualar el denominador a cero: es factorizar arriba y abajo. Un factor que se repita en los dos lados cambia por completo el diagnóstico. Se factoriza el numerador: x² + 2x − 3 = (x + 3)(x − 1), porque 3 × (−1) = −3 y 3 + (−1) = 2. La función queda f(x) = (x + 3)(x − 1) / (x − 1). El factor (x − 1) está arriba y abajo, así que se cancela: f(x) = x + 3, pero solo para x ≠ 1. El x ≠ 1 no se puede olvidar: en la fórmula original, x = 1 da 0/0, así que ese punto queda fuera del dominio pase lo que pase. La pregunta es de qué tipo es esa falla. Al acercarse x a 1, la función se acerca a 1 + 3 = 4, un valor finito; no se dispara al infinito. Hay asíntota vertical solo cuando la función se va a +∞ o −∞. Como el único factor del denominador se canceló, no queda ninguna recta vertical a la que la gráfica se dispare. Lo que hay en x = 1 es un hueco, una discontinuidad evitable, en el punto (1, 4). Respuesta: No tiene asíntotas verticales. Su gráfica es la recta y = x + 3 con un hueco en el punto (1, 4).

Precálculo