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Matemáticas especiales
Ejercicios resueltos de Matemáticas especiales paso a paso, con el error que más se comete en cada uno: Transformada de Laplace, EDO con transformada de Laplace, Series de Fourier, Transformada de Fourier y más. Gratis y en español.
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Ejercicios resueltos de Mat. especiales
Resueltos paso a paso, como te los explicaría el tutor, y con el error que más se comete.
Integrales de contorno y residuos
Evalúa ∮ (3z + 2) / (z(z − 1)(z − 3)) dz sobre la circunferencia |z| = 2 recorrida en sentido positivo.
Cómo se resuelve
- 1El teorema del residuo dice que la integral vale 2πi por la suma de los residuos de los polos que quedan DENTRO del contorno. Así que lo primero no es calcular residuos, sino ubicar los polos y ver cuáles entran.
- 2Los polos son donde se anula el denominador: z = 0, z = 1 y z = 3, todos simples. Sus distancias al origen son 0, 1 y 3. El contorno es |z| = 2, así que z = 0 y z = 1 están dentro, y z = 3 se queda afuera y no cuenta.
- 3Para un polo simple z₀, el residuo es el límite de (z − z₀)·f(z) cuando z → z₀, que en la práctica es tapar el factor (z − z₀) y evaluar el resto en z₀.
- 4Residuo en z = 0: se tapa la z y se evalúa (3z + 2)/((z − 1)(z − 3)) en z = 0, que da 2/((−1)(−3)) = 2/3.
- 5Residuo en z = 1: se tapa (z − 1) y se evalúa (3z + 2)/(z(z − 3)) en z = 1, que da 5/((1)(−2)) = −5/2.
- 6Suma de residuos dentro: 2/3 − 5/2 = 4/6 − 15/6 = −11/6.
- 7Integral = 2πi·(−11/6) = −11πi/3.
Respuesta: ∮ = −11πi/3
El error de siempre: Sumar también el residuo de z = 3 sin comprobar si está dentro de |z| = 2. El teorema del residuo solo cuenta las singularidades encerradas por la curva; las de afuera no aportan nada porque ahí la función es analítica. Siempre conviene dibujar la circunferencia y marcar los polos antes de derivar o tapar nada.
Transformada de Laplace
Calcula la transformada de Laplace de la función que vale 0 para t < 2 y vale t para t ≥ 2.
Cómo se resuelve
- 1La función se escribe con el escalón unitario: f(t) = t·u(t − 2), donde u(t − 2) apaga todo antes de t = 2.
- 2El segundo teorema de traslación dice: L{g(t − a)·u(t − a)} = e^(−a·s)·G(s). Ojo con la forma: lo que multiplica al escalón tiene que estar escrito en términos de (t − a), no de t suelto.
- 3Aquí a = 2, así que necesitamos una g con g(t − 2) = t. Haciendo el cambio τ = t − 2, es t = τ + 2, luego g(τ) = τ + 2.
- 4Transformamos esa g: G(s) = L{τ + 2} = 1/s² + 2/s.
- 5Aplicamos el teorema: L{f} = e^(−2s)·(1/s² + 2/s).
- 6Comprobación por definición: ∫₂^∞ t·e^(−st) dt = 2·e^(−2s)/s + e^(−2s)/s², que es lo mismo. ✓
Respuesta: L{f(t)} = e^(−2s)·(1/s² + 2/s), para s > 0
El error de siempre: Escribir directamente e^(−2s)·L{t} = e^(−2s)/s², sin reescribir la función en términos de (t − 2). El teorema traslada la función completa, no solo la enciende: la rampa que empieza en t = 2 no arranca en cero, arranca valiendo 2, y ese salto es justo el término 2/s que se pierde al saltarse el cambio de variable.
¿Y si tu ejercicio no es ninguno de estos?
No hace falta buscar el ejercicio exacto en internet. Trae el tuyo, o pide los que te falten.
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Lo que cubre
- Transformada de Laplace
- EDO con transformada de Laplace
- Series de Fourier
- Transformada de Fourier
- Números complejos y funciones analíticas
- Integrales de contorno y residuos
- Series de Laurent y singularidades
- Ecuaciones en derivadas parciales
- Funciones especiales (Gamma, Bessel, Legendre)
- Transformada Z
Preguntas que le puedes hacer
- LaplaceCalcula la transformada de Laplace de f(t) = t·sen(3t)
- EDO + LaplaceResuelve y'' + 4y = δ(t − π), con y(0) = 1, y'(0) = 0, usando transformada de Laplace
- FourierHalla la serie de Fourier de f(x) = x en (−π, π) y analiza su convergencia en x = π
- ResiduosEvalúa ∮ e^z / (z² + 1) dz sobre la circunferencia |z| = 2 usando el teorema del residuo
- LaurentEncuentra la serie de Laurent de 1/(z(z − 1)) en la región 0 < |z| < 1
Cómo enseña este tutor
Es riguroso y completo: justifica cada paso y nombra el teorema, la norma o la buena práctica que está aplicando, para que puedas citarla en tu trabajo o en el parcial.
- · Te muestra el camino completo, no solo el resultado.
- · Si algo no te cuadra, te lo explica otra vez de otra manera.
- · Comprueba las cuentas con matemática simbólica antes de dártelas.
- · Con una foto de tu cuaderno te dice dónde está el error.
- · Te arma quizzes de lo que acabas de ver para saber si de verdad quedó.
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