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Métodos numéricos

Ejercicios resueltos de Métodos numéricos paso a paso, con el error que más se comete en cada uno: Errores y punto flotante, Bisección y Newton-Raphson, Punto fijo y secante, Interpolación de Lagrange y Newton y más. Gratis y en español.

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Ejercicios resueltos de Mét. numéricos

Resueltos paso a paso, como te los explicaría el tutor, y con el error que más se comete.

Bisección y Newton-Raphson

Aproxima √7 con tres iteraciones de Newton-Raphson aplicadas a f(x) = x² − 7, partiendo de x₀ = 3.

Cómo se resuelve

  1. 1Buscar √7 es lo mismo que buscar la raíz positiva de f(x) = x² − 7. Se escoge x₀ = 3 porque 3² = 9 ya está cerca de 7 y ahí f′ no se anula.
  2. 2La fórmula de Newton es x_(n+1) = x_n − f(x_n)/f′(x_n). Sale de reemplazar la curva por su recta tangente en x_n y tomar como nueva aproximación el punto donde esa tangente corta el eje x. Aquí f′(x) = 2x.
  3. 3Iteración 1: f(3) = 9 − 7 = 2 y f′(3) = 6. x₁ = 3 − 2/6 = 2,666667.
  4. 4Iteración 2: f(2,666667) = 7,111111 − 7 = 0,111111 y f′ = 5,333333. x₂ = 2,666667 − 0,111111/5,333333 = 2,666667 − 0,020833 = 2,645833.
  5. 5Iteración 3: f(2,645833) = 7,000434 − 7 = 0,000434 y f′ = 5,291667. x₃ = 2,645833 − 0,000434/5,291667 = 2,645833 − 0,000082 = 2,645751.
  6. 6El valor real es √7 = 2,6457513. Mirando los errores: x₁ falla por 2·10⁻², x₂ por 8·10⁻⁵ y x₃ por 10⁻⁹. En tres pasos se pasó de ninguna cifra correcta a las siete que alcanzamos a escribir.

Respuesta: x₃ ≈ 2,645751, con error absoluto menor que 10⁻⁶ frente a √7 = 2,6457513.

El error de siempre: Redondear cada iteración a dos o tres decimales «para que la cuenta sea más fácil». Newton duplica aproximadamente el número de cifras correctas en cada paso (aquí: 2, luego 4, luego 9), así que redondear corto tira a la basura justo lo que el método acaba de ganar y el resultado se estanca. Se arrastran al menos dos cifras más de las que se quieren en la respuesta final.

Trapecio y Simpson

Aproxima ∫₁² dx/x con la regla de Simpson 1/3 usando n = 4 subintervalos, y compara con el valor exacto.

Cómo se resuelve

  1. 1Simpson 1/3 reemplaza la curva por parábolas que pasan por tres puntos consecutivos, por eso exige un número PAR de subintervalos: cada parábola se come dos. Con n = 4 va bien.
  2. 2El ancho es h = (2 − 1)/4 = 0,25 y los nodos son 1; 1,25; 1,5; 1,75 y 2.
  3. 3Evaluamos f(x) = 1/x en cada nodo: f₀ = 1; f₁ = 0,8; f₂ = 0,666667; f₃ = 0,571429; f₄ = 0,5.
  4. 4La fórmula es S = (h/3)·[f₀ + 4f₁ + 2f₂ + 4f₃ + f₄]. Los pesos alternan 4 y 2 en el interior: 4 en los nodos de índice impar, 2 en los de índice par, y 1 en los dos extremos.
  5. 5Sumamos el corchete: 1 + 4(0,8) + 2(0,666667) + 4(0,571429) + 0,5 = 1 + 3,2 + 1,333333 + 2,285714 + 0,5 = 8,319048.
  6. 6Multiplicamos por h/3 = 0,25/3 = 0,083333: S = 0,083333 × 8,319048 = 0,693254.
  7. 7El valor exacto es ∫₁² dx/x = ln 2 = 0,693147. El error absoluto es 0,000107, o sea alrededor del 0,015 %.

Respuesta: S ≈ 0,693254 frente a ln 2 = 0,693147; error absoluto ≈ 1,07 × 10⁻⁴.

El error de siempre: Aplicar Simpson 1/3 con un número impar de subintervalos (por ejemplo n = 5), o equivocar el patrón de pesos y poner 2 donde va 4. Con n impar el último tramo queda sin pareja y la fórmula deja de ser válida; con los pesos cambiados el resultado se va lejos. Truco de control: la suma de todos los pesos multiplicada por h/3 debe dar el ancho del intervalo. Aquí (1 + 4 + 2 + 4 + 1)·0,083333 = 12 × 0,083333 = 1, que es 2 − 1. ✓

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Lo que cubre

  • Errores y punto flotante
  • Bisección y Newton-Raphson
  • Punto fijo y secante
  • Interpolación de Lagrange y Newton
  • Derivación numérica
  • Trapecio y Simpson
  • LU, Jacobi y Gauss-Seidel
  • Euler y Runge-Kutta
  • Mínimos cuadrados

Preguntas que le puedes hacer

  • Newton-RaphsonAplica 3 iteraciones de Newton-Raphson a f(x) = x³ − 2x − 5 con x₀ = 2
  • SimpsonAproxima ∫₀¹ e^(−x²) dx con Simpson 1/3 y n = 4
  • EulerResuelve y' = x + y, y(0) = 1 con Euler y h = 0,1 hasta x = 0,3
  • InterpolaciónInterpola con Lagrange los puntos (0, 1), (1, 3) y (2, 2)

Cómo enseña este tutor

Es riguroso y completo: justifica cada paso y nombra el teorema, la norma o la buena práctica que está aplicando, para que puedas citarla en tu trabajo o en el parcial.

  • · Te muestra el camino completo, no solo el resultado.
  • · Si algo no te cuadra, te lo explica otra vez de otra manera.
  • · Comprueba las cuentas con matemática simbólica antes de dártelas.
  • · Con una foto de tu cuaderno te dice dónde está el error.
  • · Te arma quizzes de lo que acabas de ver para saber si de verdad quedó.

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