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Cálculo vectorial
Ejercicios resueltos de Cálculo vectorial paso a paso, con el error que más se comete en cada uno: Vectores y geometría en el espacio, Funciones de varias variables, Derivadas parciales y gradiente, Multiplicadores de Lagrange y más. Gratis y en español.
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Ejercicios resueltos de Cálc. vectorial
Resueltos paso a paso, como te los explicaría el tutor, y con el error que más se comete.
Derivadas parciales y gradiente
Sea f(x, y) = x²y + 3y². Halla la derivada direccional de f en el punto (2, 1) en la dirección del vector v = (3, 4).
Cómo se resuelve
- 1La derivada direccional mide qué tan rápido cambia f si uno se mueve desde el punto en esa dirección. La fórmula es D_u f = ∇f · u, donde u es un vector UNITARIO. Por eso hay dos cosas que calcular: el gradiente y el vector normalizado.
- 2Gradiente: se deriva respecto a x tratando y como número, y luego al revés. f_x = 2xy, f_y = x² + 6y.
- 3Evaluamos en (2, 1): f_x = 2·2·1 = 4 y f_y = 2² + 6·1 = 10. Entonces ∇f(2, 1) = (4, 10).
- 4Normalizamos la dirección: |v| = √(3² + 4²) = √25 = 5, así que u = (3/5, 4/5) = (0,6 ; 0,8).
- 5Producto punto: D_u f = 4·0,6 + 10·0,8 = 2,4 + 8 = 10,4.
Respuesta: D_u f(2, 1) = 52/5 = 10,4
El error de siempre: Hacer el producto punto con v = (3, 4) sin normalizarlo, lo que da 4·3 + 10·4 = 52: cinco veces el valor correcto, justo el tamaño de |v|. La derivada direccional es una tasa de cambio POR unidad de longitud recorrida; si el vector mide 5, estarías reportando lo que cambia f en cinco unidades de camino, no en una.
Teorema de Green
Calcula ∮ y² dx + 3xy dy sobre la frontera de la región semicircular superior x² + y² ≤ 4 con y ≥ 0, recorrida en sentido antihorario.
Cómo se resuelve
- 1La frontera son dos pedazos distintos: el segmento del eje x de (−2, 0) a (2, 0) y el arco de radio 2. Parametrizar cada uno por separado es largo, así que conviene el teorema de Green, que cambia una integral de línea sobre una curva cerrada por una sola integral doble sobre la región encerrada.
- 2Green dice: ∮ P dx + Q dy = ∬ (∂Q/∂x − ∂P/∂y) dA, y exige orientación antihoraria, que es la que nos dan. Aquí P = y² y Q = 3xy.
- 3Calculamos las dos derivadas: ∂Q/∂x = 3y (se deriva 3xy respecto a x tratando y como constante) y ∂P/∂y = 2y. La resta, en ese orden, da 3y − 2y = y.
- 4Queda ∬ y dA sobre el semidisco superior de radio 2. Como la región es un pedazo de círculo, pasamos a polares: y = r·senθ y dA = r dr dθ, con 0 ≤ r ≤ 2 y 0 ≤ θ ≤ π (la mitad de arriba).
- 5La integral se vuelve ∫₀^π ∫₀^2 (r·senθ)·r dr dθ = ∫₀^π ∫₀^2 r²·senθ dr dθ. Como el integrando se separa en un factor de r por uno de θ, se pueden calcular las dos integrales por aparte y multiplicar.
- 6∫₀^2 r² dr = 8/3 y ∫₀^π senθ dθ = [−cosθ]₀^π = 1 − (−1) = 2.
- 7Multiplicamos: (8/3)·2 = 16/3.
Respuesta: 16/3 ≈ 5,33
El error de siempre: Restar al revés, ∂P/∂y − ∂Q/∂x, o recorrer la curva en sentido horario sin cambiarle el signo al resultado. Las dos cosas devuelven −16/3. La orientación positiva es la que deja la región a la IZQUIERDA mientras uno camina por el borde; si el enunciado la da al contrario, se calcula con Green y al final se cambia el signo.
¿Y si tu ejercicio no es ninguno de estos?
No hace falta buscar el ejercicio exacto en internet. Trae el tuyo, o pide los que te falten.
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Lo que cubre
- Vectores y geometría en el espacio
- Funciones de varias variables
- Derivadas parciales y gradiente
- Multiplicadores de Lagrange
- Integrales dobles y triples
- Coordenadas polares, cilíndricas y esféricas
- Integrales de línea
- Teorema de Green
- Divergencia y rotacional
- Teoremas de Stokes y Gauss
Preguntas que le puedes hacer
- GradienteHalla la derivada direccional de f = x²y + yz en (1, 2, 1) en la dirección de (1, 1, 1)
- LagrangeMaximiza f = xy sujeto a x² + 4y² = 8
- Integrales doblesCalcula ∬ (x² + y²) dA sobre el disco x² + y² ≤ 4
- GreenVerifica el teorema de Green para F = (−y, x) sobre la circunferencia unitaria
Cómo enseña este tutor
Es riguroso y completo: justifica cada paso y nombra el teorema, la norma o la buena práctica que está aplicando, para que puedas citarla en tu trabajo o en el parcial.
- · Te muestra el camino completo, no solo el resultado.
- · Si algo no te cuadra, te lo explica otra vez de otra manera.
- · Comprueba las cuentas con matemática simbólica antes de dártelas.
- · Con una foto de tu cuaderno te dice dónde está el error.
- · Te arma quizzes de lo que acabas de ver para saber si de verdad quedó.
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